Wzór na wariancję: Definicja, obliczanie i przykłady

Wzór na wariancję jest fundamentalnym narzędziem w statystyce, służącym do ilościowego określenia stopnia rozproszenia zbioru danych wokół średniej arytmetycznej. Zrozumienie wariancji jest kluczowe dla analizy statystycznej w wielu dziedzinach nauki, od fizyki przez chemię po ekonomię. W niniejszym artykule przedstawimy definicję wariancji, omówimy jej podstawowy wzór, wskażemy różnice między wariancją populacji a próbą oraz zaprezentujemy przykłady obliczeń, które ułatwią praktyczne zastosowanie omawianej koncepcji.

Kluczowe informacje:

• Wariancja jest miarą rozproszenia danych wokół średniej arytmetycznej.
• Istnieją odrębne wzory na wariancję dla całej populacji i dla próby (z korektą Bessela).
• Wariancja jest zawsze nieujemna, a jej jednostką jest kwadrat jednostki danych.
• Wariancja jest ściśle powiązana z odchyleniem standardowym.

Wzór na wariancję

Podstawowy wzór na wariancję ($\sigma^2$) dla całej populacji ($N$ elementów) jest zdefiniowany jako średnia kwadratów odchyleń poszczególnych wartości ($x_i$) od średniej arytmetycznej populacji ($\mu$).

$$ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^N (x_i – \mu)^2}{N} $$

Dla próby ($n$ elementów) stosuje się wzór na wariancję z korektą Bessela ($s^2$), gdzie mianownik wynosi $n-1$ zamiast $n$.

$$ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar{x})^2}{n-1} $$

gdzie $\bar{x}$ oznacza średnią arytmetyczną z próby.

Czym jest wariancja? Definicja i znaczenie

Wariancja to miara rozproszenia lub zmienności danych, informująca o tym, jak bardzo poszczególne obserwacje odbiegają od wartości średniej. Wysoka wartość wariancji wskazuje na duże rozproszenie danych, podczas gdy niska wartość oznacza, że dane są skupione blisko średniej.

Wariancja jest zawsze nieujemna. Jej jednostką jest kwadrat jednostki, w której wyrażone są obserwacje; przykładowo, dla danych w metrach ($m$), wariancja będzie wyrażona w metrach kwadratowych ($m^2$).

Elementy wzoru na wariancję

Wzór na wariancję składa się z kilku kluczowych elementów:

• Symbolem wariancji dla populacji jest $\sigma^2$, a dla próby $s^2$.
• $x_i$ to $i$-ta obserwacja w zbiorze danych.
• $\mu$ to średnia arytmetyczna populacji.
• $\bar{x}$ to średnia arytmetyczna z próby.
• $N$ oznacza liczebność populacji.
• $n$ oznacza liczebność próby.
• Suma $\sum (x_i – \mu)^2$ (lub $\sum (x_i – \bar{x})^2$) reprezentuje sumę kwadratów odchyleń poszczególnych wartości od średniej.

Wzór na wariancję dla populacji vs. wzór na wariancję dla próby

Rozróżnienie między wzorem na wariancję populacji a wzorem na wariancję próby jest istotne w analizie statystycznej. Wzór dla populacji stosuje się, gdy dysponujemy danymi dla wszystkich elementów badanej populacji.

W praktyce statystycznej częściej pracuje się z próbami, które stanowią podzbiór populacji; w takim przypadku stosuje się wzór na wariancję próby z mianownikiem $n-1$ (korekta Bessela), który jest estymatorem nieobciążonym wariancji populacji. Oznacza to, że średnia wartość wariancji obliczonej na podstawie wielu prób o rozmiarze $n$ będzie zbliżona do rzeczywistej wariancji populacji.

Jak obliczyć wariancję? Przykładowe obliczenia

Obliczenie wariancji, zarówno dla populacji, jak i dla próby, wymaga kilku kroków:

1. Oblicz średnią arytmetyczną zbioru danych ($\mu$ dla populacji, $\bar{x}$ dla próby).
2. Dla każdej obserwacji ($x_i$) oblicz jej odchylenie od średniej ($x_i – \mu$ lub $x_i – \bar{x}$).
3. Podnieś każde odchylenie do kwadratu ($(x_i – \mu)^2$ lub $(x_i – \bar{x})^2$).
4. Zsumuj wszystkie kwadraty odchyleń ($\sum (x_i – \mu)^2$ lub $\sum (x_i – \bar{x})^2$).
5. Podziel sumę kwadratów odchyleń przez liczebność populacji ($N$) dla wariancji populacji ($\sigma^2$) lub przez liczebność próby minus jeden ($n-1$) dla wariancji próby ($s^2$).

Przykład obliczenia wariancji dla małego zbioru danych

Rozważmy prosty zbiór danych reprezentujący wyniki ($x_i$) pięciu pomiarów: $2, 4, 4, 4, 5$. Załóżmy, że jest to próba ($n=5$).

1. Obliczamy średnią: $\bar{x} = \frac{2+4+4+4+5}{5} = \frac{19}{5} = 3.8$.

2. i 3. Obliczamy odchylenia od średniej i podnosimy je do kwadratu:

• $(2 – 3.8)^2 = (-1.8)^2 = 3.24$
• $(4 – 3.8)^2 = (0.2)^2 = 0.04$
• $(4 – 3.8)^2 = (0.2)^2 = 0.04$
• $(4 – 3.8)^2 = (0.2)^2 = 0.04$
• $(5 – 3.8)^2 = (1.2)^2 = 1.44$

4. Sumujemy kwadraty odchyleń: $3.24 + 0.04 + 0.04 + 0.04 + 1.44 = 4.8$.

5. Obliczamy wariancję próby: $s^2 = \frac{4.8}{5-1} = \frac{4.8}{4} = 1.2$.

Zależność wariancji od innych miar statystycznych

Wariancja jest ściśle powiązana z odchyleniem standardowym ($\sigma$ dla populacji, $s$ dla próby), które jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji ($\sigma = \sqrt{\sigma^2}$, $s = \sqrt{s^2}$). Odchylenie standardowe jest częściej używane w praktyce, ponieważ jest wyrażone w tej samej jednostce co dane i średnia, co ułatwia interpretację rozproszenia.

Wariancja jest również fundamentalną miarą w analizie wariancji (ANOVA), która służy do porównywania średnich w więcej niż dwóch grupach.

Zastosowanie wariancji w nauce i praktyce

Wariancja ma szerokie zastosowanie w różnych dziedzinach nauki i inżynierii. W fizyce jest używana do oceny precyzji pomiarów i analizy błędów eksperymentalnych; wysoka wariancja wyników pomiarów może wskazywać na dużą niepewność lub wpływ czynników zakłócających.

W chemii wariancja może być stosowana do analizy danych z eksperymentów, na przykład w celu oceny powtarzalności procesu syntezy lub precyzji metody analitycznej. Analiza wariancji jest też narzędziem do porównywania wyników uzyskanych różnymi metodami lub w różnych warunkach eksperymentalnych.

W inżynierii i kontroli jakości wariancja jest używana do monitorowania stabilności procesów produkcyjnych. Niska wariancja parametrów produktu świadczy o powtarzalności i wysokiej jakości, a analiza zmienności pozwala na identyfikację i eliminację przyczyn rozrzutu wyników.

Kalkulator wariancji online

Dostępnych jest wiele narzędzi online, które pozwalają na szybkie obliczenie wariancji dla podanego zbioru danych. Kalkulatory wariancji mogą być przydatne do weryfikacji ręcznych obliczeń lub analizy większych zbiorów danych. Zazwyczaj wymagają one podania zbioru liczb i informacji, czy dane pochodzą z populacji, czy z próby.

Wariancja a pole powierzchni i objętość w statystyce wielowymiarowej

W statystykach wielowymiarowych, gdzie analizuje się jednocześnie wiele zmiennych, koncepcja wariancji rozszerza się. Macierz kowariancji, która zawiera wariancje poszczególnych zmiennych na przekątnej i kowariancje między zmiennymi poza przekątną, opisuje rozproszenie danych w przestrzeni wielowymiarowej. Choć nie jest to bezpośredni związek z polem powierzchni czy objętością w sensie geometrycznym, macierz kowariancji definiuje „kształt” rozproszenia danych w przestrzeni, który można wizualizować jako elipsoidę, której „objętość” lub „rozmiar” jest związany z wariancją i kowariancją.

Wariancja w kontekście ruchu i czasu trwania

W fizyce czy analizie danych czasowych, wariancję można stosować do opisu zmienności parametrów ruchu w czasie. Na przykład, wariancja prędkości w czasie może informować o stopniu nieregularności ruchu. Analiza wariancji czasu trwania zdarzeń pozwala na ocenę ich powtarzalności lub zmienności, co ma zastosowanie np. w badaniach procesów dynamicznych.

Wariancja jest bardzo wrażliwa na wartości odstające (outliery), ponieważ w obliczeniach wykorzystywane są kwadraty odchyleń od średniej; duże odchylenia mają nieproporcjonalnie duży wpływ na końcową wartość wariancji.

Wariancja stanowi podstawową miarę rozproszenia danych w statystyce opisowej. Zrozumienie jej definicji, wzorów dla populacji i próby oraz metod obliczeniowych jest niezbędne do prawidłowej analizy i interpretacji zbiorów danych w naukach ścisłych i technicznych, umożliwiając ocenę zmienności i precyzji wyników.

Małgosia Baniuk

Jestem Małgosia, doświadczonym architektem wnętrz, który swoją pasję do projektowania przestrzeni przekuwa w inspirujące artykuły na naszym blogu wnętrzarskim. Moje doświadczenie i zamiłowanie do tworzenia funkcjonalnych, a zarazem estetycznych przestrzeni, pomagają mi dzielić się wiedzą i inspiracjami z czytelnikami, dążąc do tego, aby każde wnętrze było nie tylko piękne, ale i praktyczne.